Medida de Hausdorff: teoría y aplicaciones

Abstract

La Medida de Hausdorff fue introducida en 1969 por Herbert Federer en [2], esta se presentó como un ejemplo de la construcción de Caratheodory que proporcionaba medidas a partir de métodos de estimación arbitrarios sobre un conjunto dado. Eligiendo un conjunto y un método de aproximación apropiados se obtenían medidas con propiedades geométricas básicas importantes. En este trabajo también se introdujeron los conceptos de Jacobiano y de manera seguida los conceptos de Área y Coárea los cuales permitirían medir las imágenes de abiertos en Rn mediante funciones continuas, así como sus conjuntos de nivel. A finales de los 80 y principios de los 90 K. Falconer y F.Morgan proporcionaron buenas introducciones a la Medida de Hausdorff en [4] y [5] respectivamente haciendo el tema más popular y accesible. Más tarde, en 1992 Lawrence C. Evans y Ronald F. Gariepy publicaron [1], aquí se profundizó en la Medida de Hausdorff y se redefinieron algunos conceptos elementales de la Teoría de la medida con el fin de trabajar siempre sobre espacios medibles, principalmente en Rn. Finalmente, en 1997 el mismo Lawrence C. Evans nos permitiría apreciar en [6] aplicaciones para la fórmula de Coárea sobre campos escalares. En el presente trabajo exploramos varias de las propiedades fundamentales y de mayor relevancia de la Medida de Hausdorff haciendo un especial ´énfasis en la desigualdad isodiametrica y en la posterior demostración de la Medida de Lebesque como restricción de la Medida de Hausdorff, para esto ´ultimo nos basamos en gran manera en la demostración hecha en 1979 por R. Hardt en [3]. Luego veremos las propiedades de funciones Lipschitz respecto a la medida de Hausdorff y ayudarnos de ´estas para estudiar las fórmulas de Área y Coárea, y ver algunas aplicaciones.